Shimada's Diary

4/21(Fri)での阪神問題に関する正当な解答（高校数学レベル）

問題：

野球チームの阪神タイガースは大変なお天気屋チームで，勝った次の試合は８割の確率で勝つが，負けた試合の次の試合は４割しか勝てない．この調子で試合を続けていった場合，常に２勝１敗の銀行レースを続ける読売ジャイアンツと最終的にペナントを争うことができるか？

ようするに数列の問題なんだな．だから前かいたような直感的解答ではなくて，ちゃんと数列を書き下せば収束も示せる．

まず，開幕第１試合に勝つ確率をp₁とする．これは試合が無限に続いた場合の平均勝率の極限が存在するかしないかにかかわらず任意に設定できることに注意しよう．ここで，第N試合目に勝つ確率をp_Nとしたとき，続く第N+1試合目に勝つ確率p_N+1は

p_N+1 = 0.8p_N+0.4(1-p_N) = 0.4(1+p_N)

と書けることはいいね．この式は漸化式だから解くことを考えよう．整理すれば

p_N+1 - 0.4p_N = 0.4

である．Nを１減らしても同じことがいえるから，

p_N - 0.4p_N-1 = 0.4

だね．ちょいとトリッキーだが辺々引き算すると

p_N+1-p_N = 0.4(p_N-p_N-1)

となる．よくあるテクニックですな．ここでp_N+1-p_N をq_Nとおきなおすと，

q_N = 0.4q_N-1

となって，これは公比0.4の等比数列だ．したがって

q_N = q₁0.4^N-1

である．ただしq₁=p₂-p₁である．
ここでまたトリッキ―なテクニックをつかうと，

p_N = p_N-p_N-1+p_N-1-p_N-2+p_N-2.........-p₁+p₁
= (p_N-p_N-1)+(p_N-1-p_N-2)+...... (p₂-p₁)+p₁
= q_N-1+q_N-2......+q₁+p₁

となる．前半のqの部分は初項q₁，公比0.4の等比級数だから，結局

p_N = q₁(1-0.4^N-1)/(1-0.4)+p₁

となるんだな．ここでq₁=p₂-p₁, とp₂=0.4(1+p₁)を思い出せば，

p_N = (0.4(1+p₁)-p₁)(1-0.4^N-1)/0.6 + p₁
= (0.4-0.6p₁)(1-0.4^N-1)/0.6 + p₁
= 0.4/0.6 - p₁ - (0.4/0.6-0.6/0.6p₁)0.4^N-1 + p₁
= 2/3 - (2/3 -p₁)0.4^N-1

ここでN->∞の極限を考えるとp_Nは確かにp_∞に収束して

p_∞ = 2/3 = 0.666666.....

となることがわかる．このp_∞がは阪神がある試合に勝つ平均確率で，開幕戦に勝つ確率p₁にはまったく関係なくきまっていることがわかる．

ただしよくよく考えると，このpは「ある１試合に勝つ確率」であって，それまでの勝敗結果から計算される「勝率」ではない！後に示すように，無限に試合をしていけばp_∞はいわゆる「勝率」に一致するのだが，ここでは乗り掛かった舟なので，きちんと勝率を計算してみよう．

N試合消化した段階での平均勝ち数をs_Nとしよう．
開幕戦に勝つ確率はp₁だから，開幕戦終了時の平均勝ち数 s₁は

s₁ = p₁×1+(1-p₁)×0 = p₁

である．同様にN試合消化時の平均勝ち数s_Nは

s_N = s_N-1 + p_N×1+(1-p_N)×0
= s_N-1 + p_N

となる．p_Nは「それまでの経過に関係なく，N試合目に勝つ確率」だったことを思い出そう．

上式は漸化式だから解くことを考える．

s_N - s_N-1 = p_N

で

s_N - s₁ = p_N+p_N-1+....p₂
ゆえに s_N = p_N+p_N-1+....p₂+ s₁
= p_N+p_N-1+....p₂+ p₁

なのだ．p_N = 2/3 - (2/3 -p₁)0.4^N-1という関係はさっき求めたから，これを代入してやると，ややこしいので途中経過を省略しますが，

s_N = 2N/3 - (2/3 - p₁)(1-0.4^N)/0.6

となるのです．
N試合消化時点での勝率z_Nはそれまでの勝ち数s_Nを試合数Nでわったものだから，

z_N = 2/3 - (2/3 - p₁)(1-0.4^N)/0.6N

となり，開幕戦に勝つ確率p₁次第で変化することがわかります．また試合数N->∞の極限ではz_∞=2/3=0.66666....でp_∞ に等しくなることがわかります．これは巨人の予想勝率と同じですから，無限に試合が続けば巨人と互角の勝負ということになります．

しかし現実には試合数は135試合ですから，N=135を代入してみましょう．すると，

p₁ = 0 の場合（開幕戦負け），z₁₃₅ = .658436....
p₁ = 1 の場合（開幕戦勝ち），z₁₃₅ = .670781....
p₁ = 0.5 の場合（開幕戦の勝敗五分五分），z₁₃₅ = .664609....

となってしまうのです！．つまり阪神は開幕戦に勝てば，135試合目において巨人を「平均的に」上回ります．しかし開幕戦に負ければ下回ります．まだ開幕前で勝つか負けるか五分五分の時点ではタッチの差で及ばないのです！わずか2厘差！！

もしp₁=p_∞=2/3，つまり平均勝ち確率と同じ割合で開幕戦を勝つとすれば，z₁₃₅=2/3(任意のNでz_N=2/3つまり何試合であろうが期待勝率は2/3ということ)となるので，何の問題もないのですが， baysian（どうなるかわかんないってことは五分五分の確率と考える立場）としてはイマイチゆるせないところ．この議論は平均的にはそうなるということなので，実際の勝ち負けの分布次第で終盤に連勝の目が出れば十分勝負できるという結論は間違いないようですね．勝率0.66666ということは135試合で90勝ちょうどということですから，もし９１勝すれば勝率は.674074....となり 7厘4毛以上勝率が前後します．したがって期待値での2厘差はないのと同じです．

ここまで読んできてくださった方，どうもありがとうございました．戻る